习题六 A 组 1．设1 ,,nX X 是来自总体 X 的样本，设总体分布分别为（1）均匀分布 [ , ] U a b ；（2）泊松分布 ( ) P ；（3）正态分布2( , ) N 。求 1 ,,nX X 的联合密度函数或联合分布律。
解：（1）1 211, , 1,2, ,( ) ( , , , ) ( )0,ninn iia x b i nb a f x x x f x 其它
（2）11 21 11( , , , ) ( )!!nii ixxn nnn i ni iiiif x x x f x e exx
（3）2212 2( )( )2 2 21 2221 11 1( , , , ) ( ) ( )22nii ixxnn nn ii if x x x f x e e 2．设1 ,,nX X 是来自总体 X 的样本，设总体分布分别为（1）二项分布 ( , ) B N p ；（2）
泊 松 分 布 ( ) P ；（ 3 ）
均 匀 分 布 [ , ] U a b ；（ 4 ）
正 态 分 布 ( ,1) N 。
求 ( ), E X
( ) D X ，2( ) E S 。
解：（1）
( ) E X Np ；1( ) (1 ) D X Np pn ；2( ) (1 ) E S Np p ；
（2）
( ) E X ；1( ) D Xn ；2( ) E S ；
（3）
( )2a bE X ；2( )( )12b aD Xn ；22( )( )12b aE S ；
（4）
( ) E X ；1( ) D Xn ；2( ) 1 E S ； 3．下面是 100 个学生身高的测量情况(单位：cm)，试作出学生身高的样本频率直方图，并用直方图估计学生身高在 160cm 与 175cm 之间的概率。
身高/cm 154~158 158~162 162~166 166~170 170~174 174~178 178~182 学生数 10 14 26 28 12 8 2 它是否近似于某个正态分布的密度函数？
解：直方图如下：
由图形可看出它近似于正态分布。
由直方图可估计出学生身高近似服从 166,33.78 N
从而得 175 166 160 166160 175 0.93943 1 0.8485 0.7933.78 33.78P X 4．设1 2, , ,nX X X 为总体 ~ [ , ] X U a b 的样本，试分别确定统计量(1)X 和( ) nX 的密度函数。
解：均匀分布的密度函数和分布函数为：
0,1,( ) ( ) ,0,1,x aa x b x af x F x a x b b ab ax b 其它 2）( ) nX 的密度函数：
11( )1( ) ( ) ,( ) ( ) ( )0,n nnnn x a a x bf x nf x F x b a 其它 1）(1)X 的密度函数：
11(1)1( ) ( ) ,( ) ( )[1 ( )]0,n nnn b x a x bf x nf x F x b a 其它 156 160 164 168 172 176 18000.050.10.150.20.250.30.35
5．设总体 X 具有密度函数：
2 , 0 1( )0,x xf x 其他 1 2, , ,nX X X 是来自该总体 X 的样本，求 1）(1)X 的密度函数；
2）( ) nX 的密度函数。
解：总体的密度函数和分布函数为：
20, 02 , 0 1( ) ( ) , 0 10,1, 1xx xf x F x x xx 其它 1）
(1)X 的密度函数：
2 11(1)2 (1 ) , 0 1( ) ( )[1 ( )]0,nnnx x xf x nf x F x 其它 2）( ) nX 的密度函数：
2 11( )2 , 0 1( ) ( ) ( )0,nnnnx xf x nf x F x 其它 6．设1 2 5, , , X X X 为总体 (12, 4) X ~ N 的样本，试求 1）(1){ 10} P X ；
2）(5){ 15} P X 。
解：1）55 5(1)10 12{ 10} 1 [1 (10)] 1 1 1 (1) 0.57852P X F ； 2）5(5){ 15} 1 [ (15)] P X F 5515 121 1 [ (1.5)] 0.29232 7．从总体2X~N(52,6.3 ) 中抽取容量为 36 的样本，求样本均值落在 50.8 到 53.8 之间的概率。
解：因为26.3~ (52, )36X N
所以求解概率：
50.8 52 52 53.8 52{50.8 53.8} { }6.3/ 36 6.3/ 36 6.3/ 36(1.714) ( 1.143) 0.9564 0.8729 1 0.8293XP X P 8 ． 已 知 样 本1 2 16, , , X X X 来 自 正 态 总 体 (0,1) X ~ N ， X 为 样 本 均 值 ， 若{ } 0.01 P X c ，求参数 c 。
解：
{ } 1 0.011/ 16cP X c ， 4 0.99 c
4 2.33, 0.5825 c c 。
9．设样本1 20, , X X 来自正态总体2( , ) X ~ N ，令10 201 113 4i ii iY X X ，试确定 Y 的分布。
解：2(-10 ,250 ) Y ~ N 。
10．设样本1 1, ,nX X来自正态总体2( , ) N ，令11,( 1,2, , 1)1ni i jjV X X i nn ，则iV 服从什么分布。
解：因为11 1(1 )1 1 1ni i jjnEV EX EXn n n ；
21 11 2( ) cov( , ) ,( 1,2, , )1 1n ni i j i jj jDV DX DX X X i nn n
222 2 2 221 2 11 1 ( 1)n nnn n n 2 222 2 21 1 211 1 3 11 11nn n jjn nDV DX DX nn nn
所以 ~iV2221 1( , )1 ( 1)n nNn n ， 221 21 3 11, , ; ,11nn ni n V Nnn 11．从总体 (20,3) X ~ N 中分别抽取容量为 10 与 15 的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于 0.3 的概率。
解：设容量为 10 的样本均值 )103, 20 ( ~ N X ，容量为 15 的样本均值 )153, 20 ( ~ N Y
则 )153103, 0 ( ~ N Y X （独立性），即 )21, 0 ( ~ N Y X
6744 . 0 )) 4243 . 0 ( 1 ( 2) 4243 . 0 ( ) 4243 . 0 ( 1 } 2 3 . 0 | | 2 { } 3 . 0 | {| Y X P Y X P 12．设1 16, , X X 来自正态总体2(0, ) X ~ N ，4 8 12 162 2 2 21 5 9 13( ) ( ) ( ) ( )i i i ii i i iY X X X X 则当常数 C =214 时， CY 服从2 分布， ( ) E CY = 4， ( ) D CY = 8 。
13．设1 2, , ,nX X X 是总体 (0, 4) X ~ N 的样本，试确定 C ，使得 05 . 0 } {1012 C X Pii。
解：因为 ~ (0,1)2iXN ，并且它们相互独立，则 ) 10 ( ~ )2(21012 iiX 所以 05 . 0 }4 41{ } {10121012 CX P C X Piiii
95 . 0 }4 41{1012 CX Pii，又因为 307 . 18 ) 10 (295 . 0 ，即 C=4×18.307=73.228 14．设1 2, , ,nX X X 为总体 X 的样本，2( , ) X ~ N 。求 ] ) ( [ ] ) ( [1212 niiniiX X D X X E 与
解：因为
) 1 ( 2 ] ) (1[ , 1 ] ) (1[122122 n X X D n X X Eniinii 412 212) 1 ( 2 ] ) ( [ , ) 1 ( ] ) ( [ n X X D n X X Eniinii 15．设1 1, , , ,n n n mX X X X 是来自正态总体2(0, ) X ~ N 的样本，试确定下列统计量的分布。
（1）1121niin mii nm XYn X ，
（2）21221niin mii nm XYn X
解：1）因为 ) ( ~1), , 0 ( ~1212221m XnN Xnm nn iinii ； 由 t-分布的定义知：
); ( ~11112112212m t YX nX mXmXnm nn iiniim nn iinii 2）因为 ) ( ~1), ( ~121222122m X n Xm nn iinii
由 F-分布的定义知：
); , ( ~1121212122122m n F YX nX mXmXnm nn iiniim nn iinii 16．设 ~ ( ) T t n ，试证：2~ (1, ) T F n 。
证明：设2, ~ (0 1) ~ ( )XT X N Y nY n 其中 ，， （按定义）
则 ) ( ~ ) 1 ( ~ ,2 2 222n Y Xn YXT ， 显然
由 F 分布函数的定义知，2~ (1, ) T F n 。
17 ． 设 ( ), ( , )p pt n F m n 分 别 为 ( ) t n 分 布 和 ( , ) F m n 分 布 的 p 分 位 数 ， 求 证 ：21 /2 1[ ( )] (1, )p pt n F n 。
证明：设 ~ ( ) T t n ，1- /2{|
| < ( ) } = 1-pP T t n p ， 又2 21- /2{
< ( ) } =1- pP T t n p
（1）
由 14 题的结论知：2~ (1, ) T F n ，所以21{
< (1, )} = 1-pP T F n p
（2）
综合（1）（2）两式，得到结论：21 /2 1[ ( )] (1, )p pt n F n 。
18．假设一种轴承能够承受的压强2(60000, ) X ~ N ，从中取出 16 个样品，测得它们承受 的 压 强 的 平 均 数 59600 x ， 标 准 差 3600 s ， 令60000=900XT， 如 果(1) { } 0.05, (2) { } 0.05, (3) { } 0.05 P T P T P X 。
在上述三种情况下求 的值。
解：因为60000 60000= ~ (15)900 /X XT tS n
所以（1）0.95{ } 0.05 (15) 1.7531 P T t ；
（2）0.975{ } 0.05 = (15) 2.1315 P T t ；
（3）0.95{ } 0.05 =900 (15) 60000 61577.79 P X t 。
19．设1 2, , ,nX X X 为总体2( , ) X ~ N 的样本，其中11;niiX Xn 2 211( ) ;1niiS X Xn 当 20 n 时，求：
1）概率 { };4.472P X
2）确定 C ，使概率 { } 0.90SP CX 。
解：1）20{ } { 20 } (1) 0.8413;4.472 4.472XP X P
2）确定 C ，使概率 { } 0.90SP CX
20{ 20 } 0.90,XPS C
因为 t 0.9 (19)=-1.3277.
所以201.3277C ，C = 3.3683。
B 组
1．设总体 X 的密度, 1( ) ,0 ,x xf x 其它1 2 50, , , X X X 来自总体 X 。求：（1）
X 的期望值与方差，（2）2S 的期望。
解：因为11| | 0 EX x x dx ，1 12 2 31 01| | 22DX EX x x dx x dx
所以（1）1 10,50 100EX DX DX ；
（2）212ES DX 。
2．设21 16, , ~ ( , ) X X N ， , X S 分别为样本1 16, , X X 的均值和标准差，试确定 c ，使得 { } 0.95 P X cS 。（0.95 (15)1.7531 t ）
答案：1.75314c 。
3. 设总体 X 服从正态分布21( , ) N ，设总体 Y 服从正态分布22( , ) N ，11 ,,nX X 和21 ,,nY Y 分别来自总体 X Y 和 的简单样本，求1 22 21 11 2( ) ( )2n ni ji jX X Y YEn n 解：答案2
4. 设总体 , X Y 相互独立且都服从正态分布2(0, ) N ，1 1, , , , ,m nX X Y Y 分别来自总体, X Y ，已知统计量12 212( ),mnX XTY Y 服从 t 分布，则mn
。
答案：14。
5．设总体 ~ (0,1) X N ，1 2, X X 来自总体 X 的样本，试求常数 c ，使得 21 22 21 2 1 2( )0.05( ) ( )X XP cX X X X
解：可以证明21 21 2~ (1,1)X XY FX X ，1 2 1 2 1 2cov( , ) 0 X X X X DX DX
21 22 21 2 1 2( )( ) ( ) 1X X YZX X X X Y
{ } { } 0.051 1Y cP Z c P c P YY c
则0.95 (1,1)161.451cFc ，解出 0.9938 c 。
6 ． 设1 2 2, , ,nX X X （ 2 n ）
是 总 体2( , ) N 的 样 本 ，212nii=1X = Xn ， 求21) 2 ( nii n iX X X Y 的数学期望 EY 。
解一：
令 , 1,2,...,i i n iY X X i n ，则 ( 1,2,..., )iY i n 独立同分布于2(2 ,2 ) N 。
且11( ) 2ni n iiY X X Xn 所以，221 1( 2 ) ( )n ni n i ii iY X X X Y Y 根据抽样分布定理知，22~ ( 1)2Yn ，22( ) 1, 2( 1)2YE n EY n 。
解二：因为，1 21 1 11 1 12 ( )n n ni n i i n ii i iX X X X X X Xn n n 2 21 21 1( 2 ) ( )n ni n i i n ii iY X X X X X X X
2 21 2 1 21 1 1( ) ( ) 2 ( )( )n n ni n i i n ii i iX X X X X X X X 2 21 2 1 21 1 12 2 2[ ( ) ] [ ( ) ] 2 ( )( )( 1) ( 1) 0 2( 1)n n ni n i i n ii i iEY E X X E X X E X X X Xn n n